Question

設函數f（x）=（x ^_ 1）e^{x _} kx²（k∈R）.
(Ⅰ)當k=1時，求函數f（x）的單調區間；
(Ⅱ)當k∈（1/2,1]時，求函數f（x）在[0,k]上的最大值M.

Answer 1

(Ⅰ)函數的遞減區間為,遞增區間為,.
(Ⅱ)函數在上的最大值.

試題分析：(Ⅰ) 當時,
,
令,得,
當變化時, 的變化如下表:

		極大值		極小值

 由表可知,函數的遞減區間為,遞增區間為,.     6分
(Ⅱ) ,
令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當時, ；當時, ；
所以
令,則,
令,則
所以在上遞減,而
所以存在使得,且當時, ,
當時, ,
所以在上單調遞增,在上單調遞減.
因為,,
所以在上恒成立,當且僅當時取得“=”.
綜上,函數在上的最大值.     14分
點評：難題，本題較為典型，是導數應用的基本問題。曲線切線的斜率等于在切點處的導函數值。研究函數的最值遵循“求導數，求駐點，研究單調性，確定極值，計算區間端點函數值，比較大小”。本題中函數f（x）在[0,k]上的最大值M.是關于k的函數，處理問題過程中對k存在的討論易出錯。