Question

【題目】如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知D，E分別為BC，B1C1的中點，點F在棱CC1上，且EF⊥C1D．求證：

（1）直線A1E∥平面ADC1；

（2）直線EF⊥平面ADC1．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

(1)先證明A1E∥AD，再證明直線A1E∥平面ADC1；（2）先證明AD⊥EF，EF⊥C1D，再證明直線EF⊥平面ADC1．

（1）連接ED，∵D，E分別為BC，B1C1的中點，

∴B1E∥BD且B1E=BD，

∴四邊形B1BDE是平行四邊形，

∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，

∴AA1∥DE且AA1=DE，

∴四邊形AA1ED是平行四邊形，

∴A1E∥AD，又∵A1E平面ADC1，AD平面ADC1，

∴直線A1E∥平面ADC1．

（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD平面ABC，所以AD⊥BB1，

又△ABC是正三角形，且D為BC的中點，

∴AD⊥BC，又BB1，BC平面B1BCC1，BB1∩BC=B，

∴AD⊥平面B1BCC1，又EF平面B1BCC1，

∴AD⊥EF，

又EF⊥C1D，C1D，AD平面ADC1，C1D∩AD=D，

∴直線EF⊥平面ADC1．