Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數y=f（x）的導數，f″（x）是函數f′（x）的導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”，某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．給定函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，請你根據上面探究結果，解答以下問題：
（1）函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心坐標為

 

；
（2）計算f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）二階求導并令導數為0，從而可得x=

1

2

，則f（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

8

+

3

2

-

5

12

=1，從而得到對稱中心坐標；
（2）由函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心坐標為（

1

2

，1）可得f（x）+f（1-x）=2，從而化f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）=（f（

1

2015

）+f（

2014

2015

））+（f（

2

2015

）+f（

2013

2015

））+…+（f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

））；從而求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

，
∴f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
令2x-1=0，解得，x=

1

2

，
f（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

8

+

3

2

-

5

12

=1，
故函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心坐標為（

1

2

，1）；
（2）∵函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

的對稱中心坐標為（

1

2

，1），
∴f（x）+f（1-x）=2，
∴f（

1

2015

）+f（

2

2015

）+f（

3

2015

）+…+f（

2014

2015

）
=（f（

1

2015

）+f（

2014

2015

））+（f（

2

2015

）+f（

2013

2015

））+…+（f（

1007

2015

）+f（

1008

2015

））
=2×1007=2014．
故答案為：（

1

2

，1），2014．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了學生對新定義的接受與應用能力，屬于難題．