Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，長軸長為6，一個焦點的坐標為(

5

，0)．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設

OS

=

OA

+

OB

，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）據題意求出橢圓中的a，b得到橢圓方程；
（Ⅱ）據題意，四邊形OASB為矩形即

OA

•

OB

=0即x₁x₂+y₁y₂=0設出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯立，據韋達定理表示出則x₁x₂+y₁y₂=0
解方程求出參數m即得到直線方程；

解答： 解：（Ⅰ）∵焦點的坐標為(

5

，0)，
∴c=

5

，
∵長軸長為6，
∴a=3，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓方程為：

x2

9

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）假設存在這樣的直線；
∵

OS

=

OA

+

OB

，
∴四邊形OASB為平行四邊形；
∵|OS|=|AB|，
∴四邊形OASB為矩形；
∴OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0
據題意，直線l的斜率不為0，設直線方程為：x=my+2
由

x=my+2 x2 9 + y2 4 =1

得（4m²+9）y²+16my-20=0
△＞0，y1+y2=-

16m

4m2+9

，y1y2=-

20

4m2+9

，
x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4=

-36m2+36

4m2+9

，

-36m2+36

4m2+9

-

20

4m2+9

=0
解得m=±

2

3

∴直線方程為x=±

2

3

y+2即3x+2y-6=0或3x-2y-6=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法；考查直線與橢圓的位置關系，解決的關鍵是將已知轉化為x₁x₂+y₁y₂=0，屬于一道中檔題．