Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

(1)求的值；

(2)判斷函數的單調性并證明；

(2)若關于的不等式在有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由為奇函數可知， ，即可得解；

（2）由遞增可知在上為減函數，對于任意實數，不妨設，化簡判斷正負即可證得；

（3）不等式，等價于，即，原問題轉化為在上有解，求解的最大值即可.

試題解析

解：(1)由為奇函數可知， ，解得.

(2)由遞增可知在上為減函數，

證明：對于任意實數，不妨設，

∵遞增，且，∴，∴，

∴，故在上為減函數.

(3)關于的不等式，

等價于，即，

因為，所以，

原問題轉化為在上有解，

∵在區間上為減函數，

∴， 的值域為，

∴，解得，

∴的取值范圍是.

點晴:本題屬于對函數單調性應用的考察，若函數在區間上單調遞增，則時，有，事實上，若,則，這與矛盾，類似地，若在區間上單調遞減，則當時有；據此可以解不等式，由函數值的大小，根據單調性就可以得自變量的大小關系.本題中可以利用對稱性數形結合即可.