【題目】已知函數
.
（1）求函數
的定義域；
（2）判斷
的奇偶性；
（3）方程
是否有實根？如果有實根
，請求出一個長度為
的區間
，使
；如果沒有，請說明理由（注：區間
的長度
）
【答案】（1）定義域為(－1,1)；（2）見解析；（3）
.
【解析】【試題分析】（1）根據對數真數為正數，求得函數的定義域為
.（2）利用奇偶性的定義判斷出
，故函數為奇函數.（3）將原方程等價變形為
，構造函數
，利用二分法可判斷出函數的根在區間
.
【試題解析】
(1)∵
∴－1＜x＜1，故函數的定義域為(－1,1)．
∵f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)，且f(x)的定義域關于原點對稱
∴f(x)為奇函數．
(3)由題意知方程f(x)＝x＋1等價于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，可化為(x＋1)2x＋1＋x－1＝0.
設g(x)＝(x＋1)2x＋1＋x－1，x∈(－1,1)，
則g
＝
×2
－－1＝
＜0，
g(0)＝2－1＝1＞0，
∴gg(0)＜0，故方程在
上必有實根．
又∵g
＝
×2
－
－1＝
＝
＞0，
∴gg＜0，
故方在
上必有實根．
又∵區間長度－－＝，
∴滿足題意的一個區間為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是圓
內一點，直線
.
（1）若圓
的弦
恰好被點
平分，求弦
所在直線的方程；
（2）若過點
作圓
的兩條互相垂直的弦
，求四邊形
的面積的最大值；
（3）若
， 
是
上的動點，過
作圓
的兩條切線，切點分別為
.證明：直線
過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
滿足
，且
的最小值是
.
（1）求
的解析式；
（2）若關于
的方程
在區間
上有唯一實數根，求實數
的取值范圍；
（3）函數
，對任意
都有
恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 
（t為參數）．在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：ρ=2 
cos（θ﹣ 
）．
（Ⅰ） 求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ） 求曲線C上的點到直線l的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數f(x)滿足：對于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，則稱函數f (x)為“T函數”．
(I)試判斷函數f1(x)=x2與f2(x)=lg(x+1)是否是“T函數”，并說明理由；
(Ⅱ)設f (x)為“T函數”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求證：f (x0) =x0；
(Ⅲ)試寫出一個“T函數”f(x)，滿足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的個數最少．（只需寫出結論）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】命題p：關于x的方程x2+ax+2=0無實根，命題q：函數f（x）=logax在（0，+∞）上單調遞增，若“p∧q”為假命題，“p∨q”真命題，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
，則下列結論正確的是__________．（寫出所有正確的編號）①
的最小正周期為
；②
在區間
上單調遞增；③
取得最大值的
的集合為
④將
的圖像向左平移
個單位，得到一個奇函數的圖像
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