Question

【題目】橢圓C： =1的右焦點F，過焦點F的直線l0⊥x軸，P（x0 ， y0）（x0y0≠0）為C上任意一點，C在點P處的切線為l，l與l0相交于點M，與直線l1：x=3相交于N．
（I） 求證；直線 =1是橢圓C在點P處的切線；
（Ⅱ）求證： 為定值，并求此定值；
（Ⅲ）請問△ONP（O為坐標原點）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小及此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵P（x0 ， y0）在橢圓C： 上，
∴ ，即 ，
∴直線 過點P（x0 ， y0），
由 ，消去y，并利用 ，得 ，
即6x2﹣12x0x+6x02=0，即6（x﹣x0）2=0，∴x=x0 ，
∴直線 =1與橢圓C在點P處有且僅有一個交點，
綜上，直線 是橢圓C在點P處的切線．
（Ⅱ）在 中，令x=1，得y= ，∴M（1， ），
在 中，令x=3，得y= ，∴N（3， ），
又F（1，0），∴|FM|=| |=2| |，
|FN|= =2 =2 =2 ，
∴ = 為定值．
解：（Ⅲ）在直線 中，令y=0，得x= ，
∴切線l與x軸的交點為G（ ，0），
S△ONP= = =
= | || |
= | || |
=
=| |= ，
S△ONP= = = = ，
令3﹣x0= ，由﹣ ，得 ，且t ，
且 = = = = ，
∴當t= ，x0=1時，△ONP（O為坐標原點）的面積是存在最小值{S△ONP}min= ，
此時P（1， ）．

【解析】（Ⅰ）推導出直線 過點P（x0 ， y0），由 及 ，得 ，由此能證明直線 是橢圓C在點P處的切線．（Ⅱ）在 中，令x=1，M（1， ），令x=3，得N（3， ），由此求出|FM|，|FN|，由此能證明 為定值．（Ⅲ）求出切線l與x軸的交點為G（ ，0），推導出S△ONP= = ，令3﹣x0= ，利用配方法能求出△ONP的面積的最小值及對應的P點坐標．