Question

某出版公司為一本暢銷書定價如下：C（n）=

12n，1≤n≤24，n∈N* 11n，25≤n≤48，n∈N* 10n，n≥49，n∈N*

這里n表示定購書的數量，C（n）表示定購n本所付的錢數（單位：元）．
（1）有多少個n，會出現買多于n本書比恰好買n本書所花錢少？
（2）若一本書的成本價是5元，現在甲、乙兩人來買書（甲、乙不合買），每人至少買1本，甲買的書不多于乙買的書，兩人共買60本，問出版公司至少能賺多少錢？最多能賺多少錢？

Answer 1

分析：（1）的解答需要嚴密的分析，對各段分界點n處的花錢問題是導致買多于n本書反比恰好買n本書所花錢少的現象，本問需要求出
C（23），C（24），C（25），及C（46），C（47），C（48）再來比較．
（2）設甲買n本書，則乙買60-n本，且n≤30，n∈N^*，對n分三段1≤n≤11，12≤n≤24，25≤n≤30時進而60-n也分相應的三段然后進行討論，這里對n以及對60-n的分類討論需要結合題意嚴格分類，否則容易出現交叉導致錯誤的發生．

解答：解：（1）由于C（n）在各段上都是單調增函數，因此在第一段上不存在買多于n本書比恰好買n本書所花錢少的問題，一定是各段分界點附近因單價的差別造成買多于n本書比恰好買n本書所花錢少的現象．
C（25）=11×25=275，C（23）=12×23=276，∴C（25）＜C（23）．
C（24）=12×24=288，∴C（25）＜C（24）．
C（49）=49×10=490，C（48）=11×48=528，∴C（49）＜C（48）．
C（47）=11×47=517，∴C（49）＜C（47），C（46）=11×46=506，
∴C（49）＜C（46），C（45）=11×45=495，∴C（49）＜C（45）．
∴這樣的n有23，24，45，46，47，48，共6個．
（2）設甲買n本書，則乙買60-n本，且n≤30，n∈N^*
①當1≤n≤11時，49≤60-n≤59，
出版公司賺得錢數f（n）=12n+10（60-n）-5×60=2n+300．
②當12≤n≤24時，36≤60-n≤48，
出版公司賺得錢數f（n）=12n+11（60-n）-5×60=n+360．
③當25≤n≤30時，30≤60-n≤35，
出版公司賺得錢數f（n）=11×60-5×60=360．
∴f（n）=

2n+300，1≤n≤11 n+360，12≤n≤24 360，25≤n≤30

．
∴當1≤n≤11時，302≤f（n）≤322；當12≤n≤24時，372≤f（n）≤384；
當25≤n≤30時，f（n）=360．
故出版公司至少能賺302元，最多賺384元．

點評：本題考查函數的模型應用，分段函數模型的建立求解思想的考查，對審題分析的數學綜合能力的考查．靈活處理復雜條件下的問答解答能力．運用比較策略解答問題的能力．