Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面ABC，AB＝4，PA＝2，D是PC的中點，點M是⊙O上的動點（不與A，C重合）．

（1）證明：AD⊥PB；

（2）當三棱錐D﹣ACM體積最大時，求面MAD與面MCD所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據題意可證，，即可證明平面，從而證得：；

（2）以E為原點，分別以EC，EM，ED為x軸、y軸和z軸，表示出各點坐標，求出平面MAD的法向量與平面MCD的法向量，利用二面角公式即可得到答案。

（1）證明：∵為圓的直徑，∴，∵平面，平面，

∴，又，∴平面，又平面，．

∵，，∴，又，

∴，又是的中點，∴，又，∴平面，又平面，

∴．

（2）當三棱錐D﹣ACM體積最大時，三角形ACM的面積最大，取AC的中點E，M點為EO延長線與圓O的交點．

∴DE∥AP，EM⊥AC，以E為原點，分別以EC，EM，ED為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．

又∵MA＝MC＝AC＝，DE＝PA＝，ME＝3．

∴M（0，3，0），D（0，0，），A（﹣，0，0），C（，0，0），

∴，，，

設平面MAD的法向量為，則，即，

令 可得，

設平面MCD的法向量為，則，即，

令可得，設面MAD與面MCD所成二面角為，則

，∴．