Question

式子（x²-x+2）¹⁰的二項式展開式中，x³項的系數為

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：先求得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數等于3，求得r、r′的值，即可求得x³項的系數．

解答： 解：式子（x²-x+2）¹⁰ =[（x²-x）+2]¹⁰ 的展開式的通項公式為T_r+1=

C

r 10

•（x²-x）^10-r•2^r，
對于（x²-x）^10-r，它的通項公式為T_r′+1=（-1）^r′•

C

r′ 10-r

•x^20-2r-r′，
其中，0≤r′≤10-r，0≤r≤10，r、r′都是自然數．
令20-2r-r′=3，可得

r=7 r′=3

，或

r=8 r′=1

，
故x³項的系數為

C

7 10

•2⁷•（-1）³+（-1）•

C

8 10

•2⁸•

C

1 2

=-30×2⁹ -45×2⁹=-38400，
故答案為：-38400．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．