Question

已知等差數列{x_n}，S_n是{x_n}的前n和，且x₃=5，S₅+x₅=34
（1）求{x_n}的通項公式；
（2）判別方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說明理由．
（3）設a_n=（

1

3

）ⁿ，T_n是{a_n}前n項和，是否存在正數λ，對任意正整數n，k，使T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等差數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列,三角函數的求值,不等式的解法及應用

分析：（1）運用等差數列的通項公式和求和公式，解方程，即可得到首項和公差，進而得到通項公式；
（2）化簡整理，得到sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，對n討論，①n=1時，②n=2時，③n≥3時，解方程，結合正弦函數和余弦函數的值域，即可判斷；
（3）方法一、通過等比數列的求和公式，運用恒成立思想，求出不等式左邊的最大值，即可得到；
方法二、運用參數分離，結合等比數列的求和公式，數列的單調性，即可得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，
所以

x1+2d=5 6x1+14d=34

解得

x1=1 d=2

，
即有x_n=2n-1；
（2）由于sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n，由于x_n=2n-1，
S_n=

1

2

(1+2n-1)n=n²，
則方程為：sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，
①n=1時，sin²1+cos1=0無解；
②n=2時，sin²3+3cos3+1=4所以cos²3-3cos3+2=0
所以cos3=1，cos3=2，無解；
③n≥3時，sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+（2n-1）+1=2n+1＜n²，
所以sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²，無解．
綜上所述，對于一切正整數原方程都無解；                        
（3）解法一：a_n=（

1

3

）ⁿ，則T_n=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]，
又T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立，T_n＞0，λ＞0，
所以當T_n取最大值，x_k²取最小值時，T_n-λx

2 k

取到最大值．
又T_n＜

1

2

，x_k²=（2k-1）²≥1，所以

1

2

-λ≤λ²
即λ2+λ-

1

2

≥0  故λ≥

3 -1

2

；                                   
解法二：由T_n-λx

2 k

＜λ²恒成立，則

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]-λ（2k-1）²＜λ²恒成立．
即λ²+λ（2k-1）²＞

1

2

[1-（

1

3

）ⁿ]_max，λ²+λ（2k-1）²≥

1

2

，又λ＞0，
所以（2k-1）²≥

1 2 -λ2

λ

，[（2k-1）]_max≥

1 2 -λ2

λ

，
所以1≥

1 2 -λ2

λ

，
即λ²+λ-

1

2

≥0  故λ≥

3 -1

2

．

點評：本題考查等差和等比數列的通項公式和求和公式，考查三角函數值的求解，考查參數分離和不等式恒成立問題轉化為最值問題，考查運算能力，和判斷能力，屬于中檔題和易錯題．