Question

【題目】已知點為圓上的動點，點在軸上的投影為，點為線段AB的中點，設點的軌跡為．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）已知直線與交于兩點，，若直線的斜率之和為3，直線是否恒過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）恒過定點（，）．

【解析】

（1）設點，由題意可知，得到，代入化簡得到答案.

（2）設M（x1，y1），B（x2，y2），考慮斜率存在和斜率不存在兩種情況，聯立方程，利用韋達定理，根據斜率和為3得到，得到定點.

（1） 設點，由題意可知，

為中點，即，即，

又點在圓上，，代入得，得到軌跡方程為.

（2）設M（x1，y1），B（x2，y2），

①當l的斜率存在時，設l：y＝kx+m，

由，得，

，即4k2﹣m2+1＞0，

∴，，

∵直線QM，QN的斜率之和為3，∴，

∴2k+＝3，∴2k＝3，∴，，

當時，由 4k2﹣m2+1＞0，故，即或時符合題意，

此時直線l：y＝kx+恒過定點（，）；

②當l的斜率不存在時，x1＝x2，y1＝﹣y2，

∵直線QM，QN的斜率之和為3，∴，

∴x2＝，此時直線l：x＝，恒過定點（，）．

綜上所述：直線過定點（，）．