Question

【題目】楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種排列，在歐洲這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的一次偉大成就，如圖所示，在“楊輝三角”中去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，2，3，3，4，6，4，5 ，10 ，10，5，……，則此數(shù)列的前119項(xiàng)的和為__________．(參考數(shù)據(jù)：，，)

Answer 1

【答案】131022

【解析】

分析“楊輝三角形”的性質(zhì)，每一行的數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，除去1之后各行的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，其中所求數(shù)列的前119項(xiàng)可以視為，楊輝三角形中前17行中除去1和第17行的最后一個(gè)數(shù)之外的項(xiàng)之和，分別計(jì)算即可.

n次二項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)楊輝三角的第n+1行，例如，系數(shù)分別為1,2,1,對(duì)應(yīng)楊輝三角的第三行，令x=1,就可以求出該行的系數(shù)之和，

第1行為，第2行為，第3行為，以此類(lèi)推即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則楊輝三角形的前n項(xiàng)和為，

若去除所有的為1的項(xiàng)，則剩下的每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4，……，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則前n項(xiàng)和，

可得當(dāng)n=14，再加上第15行的前14項(xiàng)時(shí)，所有項(xiàng)的個(gè)數(shù)和為119，

由于最右側(cè)為2,3,4,5，……，為一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則第15行的第15項(xiàng)為16，

則楊輝三角的前17項(xiàng)和為，且前17行中有個(gè)1，

故此數(shù)列的前119項(xiàng)的和為.

故答案為：131022