Question

【題目】已知函數f(x)＝aln x－bx2 ， a，b∈R.
（1）若f(x)在x＝1處與直線y＝－ 相切，求a，b的值；
（2）在(1)的條件下，求f(x)在 上的最大值；
（3）若不等式f(x)≥x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝ －2bx.由函數f(x)在x＝1處與直線y＝－ 相切，
得 即
解得
（2）解：由(1)得f(x)＝ln x－ x2 ， 定義域為(0，＋∞)．
此時，f′(x)＝ －x＝ ，令f′(x)＞0，解得0＜x＜1，令f′(x)＜0，解得x＞1.
所以f′(x)在 上單調遞增，在(1，e)上單調遞減，
所以f(x)在 上的最大值為f(1)＝－ .
（3）解：若不等式f(x)≥x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－bx2≥x對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－x≥bx2對所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－x≥0對x∈(e，e2]恒成立，
即a≥ 對x∈(e，e2]恒成立，
即a大于等于 在區間(e，e2]上的最大值．
令h(x)＝ ，則h′(x)＝ ，當x∈(e，e2)時，h′(x)＞0，h(x)單調遞增，
所以h(x)＝ ，x∈(e，e2]的最大值為h(e2)＝ ，即a≥ .
所以a的取值范圍為 .
【解析】本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調區間、極值和最值，考查不等式的恒成立問題注意運用參數分離和轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題和易錯題．導數和函數的單調性的關系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．