Question

【題目】雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.

（1）求雙曲線的方程；

（2）雙曲線上有兩個點，直線和的斜率之積為，判別是否為定值，；

（3）經過點的直線且與雙曲線有兩個交點，直線的傾斜角是，是否存在直線（其中）使得恒成立？（其中分別是點到的距離）若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）8；（3）存在且

【解析】分析：（1）根據題意，雙曲線的虛軸長為，兩條漸近線方程為.易求求雙曲線的方程；

（2）設直線的斜率，顯然，

聯立得，求出，，可證；

（3）設直線方程，

聯立，（*），

∵，方程總有兩個解，

設，得到，

根據得，整理得，由，則符合題目要求，存在直線．

詳解：

（1）雙曲線；

（2）設直線的斜率，顯然，

聯立得，

，

，

；

（3）設直線方程，

聯立，（*），

∵，方程總有兩個解，

設，

，

根據得，

整理得，

∵，

∴符合題目要求，存在直線．