Question

【題目】已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）是否存在整數(shù)，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為，若存在，求出，的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在整數(shù)，，，或，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為

【解析】

（1）先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程，再討論對(duì)稱軸與定區(qū)間的位置關(guān)系①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③時(shí)，求函數(shù)的最小值，然后運(yùn)算即可得解；

（2）假設(shè)存在整數(shù)，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為，即的解集為，再結(jié)合二次方程的根的關(guān)系求解即可.

解：（1）函數(shù)的對(duì)稱軸為，

①當(dāng)，即時(shí)，，不滿足，

②當(dāng)，即時(shí)，符合題意.

③，即時(shí)，.

綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍：.

（2）假設(shè)存在整數(shù)，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為，即的解集為.可得，.

即的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，.即可得出.，.

，當(dāng)時(shí)，不存在，舍去，

當(dāng)時(shí)，，或，.

故存在整數(shù)，，且，或，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為.