Question

設數列的前項和為，且滿足.
（Ⅰ）求證：數列為等比數列；
（Ⅱ）求通項公式；
（Ⅲ）若數列是首項為1，公差為2的等差數列,求數列的前項和為.

Answer 1

（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）. （Ⅲ）.

(I)根據,可得,
從而可證明：為等比數列.
(II)在（I）的基礎上先求出的通項公式，然后再根據S_n求出a_n.
(III)先求出,
再根據a_n的通項公式求出b_n,由于,所以易采用錯位相減的方法求和
證明：（Ⅰ）因為 ,所以 . 又,
所以 是首項為，公比為的等比數列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.當時，.
當時， .
故.
（Ⅲ）因為 數列是首項為1，公差為2的等差數列，所以.所以 .
所以 .
所以 .
所以
.
所以 .