Question

已知數集具有性質；對任意的
，與兩數中至少有一個屬于。
（Ⅰ）分別判斷數集與是否具有性質，并說明理由；
（Ⅱ）證明：，且；
（Ⅲ）證明：當時，成等比數列。

Answer 1

（Ⅰ）由于與均不屬于數集，∴該數集不具有性質P；由于都屬于數集，∴該數集具有性質P。
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）證明見解析。

本題主要考查集合、等比數列的性質，考查運算能力、推理論證能力、分
分類討論等數學思想方法。本題是數列與不等式的綜合題，屬于較難層次題。
（Ⅰ）由于與均不屬于數集，∴該數集不具有性質P；由于都屬于數集，∴該數集具有性質P。
（Ⅱ）∵具有性質P，∴與中至少有一個屬于A，
由于，∴，故。
從而，∴。
∵， ∴，故。
由A具有性質P可知。
又∵，
∴，
從而，
∴。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性質P可知。
由，得，且，∴，
∴，即是首項為1，公比為成等比數列。