Question

揚州某地區要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為（如圖），考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為平方米，且高度不低于米．記防洪堤橫斷面的腰長為（米），外周長（梯形的上底線段與兩腰長的和）為（米）.

⑴求關于的函數關系式，并指出其定義域；
⑵要使防洪堤橫斷面的外周長不超過米，則其腰長應在什么范圍內？
⑶當防洪堤的腰長為多少米時，堤的上面與兩側面的水泥用料最省（即斷面的外周長最小）？求此時外周長的值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）外周長的最小值為米，此時腰長為米.

解析試題分析：（1）將梯形高、上底和下底用或表示，根據梯形面積的計算得到和的等式，從而解出，使問題得以解答，但不要忘記根據題目條件確定函數的定義域；（2）由（1）可得，解這個不等式的同時不要忽略了函數的定義域就可得到結果；（3）即求（1）中函數的最小值，可以用導數判斷函數的單調性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.
試題解析：⑴，其中，，
∴，得，   由，得
∴；                              6分
⑵得∵ ∴腰長的范圍是   10分
⑶，當并且僅當，即時等號成立．
∴外周長的最小值為米，此時腰長為米。            16分
考點：函數的應用、基本不等式、函數的最值.