Question

已知函數：
(1)若函數在區間上存在零點，求實數的取值范圍；
(2)問：是否存在常數，當時，的值域為區間，且的長度為.

Answer 1

(1) ;(2)存在，見解析.

解析試題分析：(1) 先由函數對稱軸為得函數在上單調減，要使函數在存在零點，則需滿足，解得； (2)當時，的值域為，由，得合題意；當時，的值域為，由，得不合題意；當時，的值域為，用上面的方法得或合題意.
試題解析：⑴ ∵二次函數的對稱軸是
∴函數在區間上單調遞減
∴要函數在區間上存在零點須滿足 
即  
解得  ，所以.
⑵ 當時，即時，的值域為：，即  
∴
∴  ∴ 
經檢驗不合題意，舍去。
當時，即時，的值域為：，即 
∴, ∴
經檢驗不合題意，舍去。
當時，的值域為：，即 
∴
∴  ∴或
經檢驗或或滿足題意。
所以存在常數，當時，的值域為區間，且的長度為.
考點：零點存在性定理、二次函數的單調性、二次函數值域、分類討論思想.