Question

【題目】直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D．

（1）證明：DB=DC；
（2）設圓的半徑為1，BC=3，延長CE交AB于點F，求△BCF外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結DE，交BC于點G．

由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．

而∠ABE=∠CBE，

故∠CBE=∠BCE，BE=CE．

又因為DB⊥BE，

所以DE為直徑，∠DCE=90°，

由勾股定理可得DB=DC

（2）解：由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，

故DG是BC的中垂線，

所以BG= ．

設DE的中點為O，連結BO，則∠BOG=60°．

從而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圓的半徑等于 ．

【解析】（1）構造輔助線DE，交BC于點G．由弦切角定理，圓上的同弧，等弧的性質，通過導角，可以得知∠CBE=∠BCE，BE=CE，又因為DE為直徑，即∠DCE=90°，由勾股定理可證得DB=DC；（2）由（1）可得DG是BC的中垂線，即可求得BG的長度．設DE的中點為O，連結BO，求得∠BOG=60°，通過導角，可得CF⊥BF，即可求得Rt△BCF外接圓的半徑．