Question

已知函數f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=-1時，f（x）取得極值2，若對于任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤m恒成立，則實數m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：由奇函數的定義利用待定系數法求得d，再由x=-1時f（x）取得極值2．解得a，c從而確定函數，再利用導數求單調區間和極大值，f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，從而確定|f（x₁）-f（x₂）|的最小值，即可得到m的范圍，進而得到最小值．

解答： 解：由奇函數的定義，應有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0，
因此，f（x）=ax³+cx，f'（x）=3ax²+c，
由條件f（-1）=2，為f（x）的極值，必有f'（-1）=0，
故

3a+c=0 -a-c=2

，解得a=1，c=-3
因此，f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
f'（-1）=f'（1）=0
當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區間（-∞，-1）上是增函數，
當x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在單調區間（-1，1）上是減函數，
當x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，故f（x）在單調區間（1，+∞）上是增函數，
所以，f（x）在x=-1處取得極大值，極大值為f（-1）=2，
由于f（x）=x³-3x（x∈[-1，1]）是減函數，
且f（x）在[-1，1]上的最大值f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值f（1）=-2，
所以，對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤2-（-2）=4，
則m≥4，
即有m的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本小題主要考查函數的單調性及奇偶性，考查運用導數研究函數單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．