Question

設函數f（x）=-cos²x-2t•sinx+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，將f（x）的最小值記為g（x）
（1）求g（x）的表達式；
（2）關于t的函數y=g（t）與y=kt的圖象在[-1，1]上有且僅有一個交點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數的最值,三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：計算題,數形結合,函數的性質及應用,三角函數的求值

分析：（1）利用同角的平方關系化簡函數的解析式為f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1．再分當t＜-1時、當-1≤t≤1時、當t＞1時三種情況，分別求得g（x）的解析式，可得結論．
（2）由題意可得函數g（t）的圖象在區間[-1，1]上和直線y=kt只有一個交點，如圖，求得OA的斜率，OC的斜率，可得k的范圍．

解答： 解：（1）=sin²x-2tsinx+2t²-6t+1
=（sinx-t）²+t²-6t+1．
由于-1≤sinx≤1，
當t＜-1時，g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2；
當-1≤t≤1時，g（t）=t²-6t+1；
當t＞1時，g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
綜上可得，g（x）=

2x2-4x+2，x＜-1 x2-6x+1．-1≤x≤1 2x2-8x+2，x＞1

．
（2）當-1≤t≤1時，
要使關于t的方程g（t）=kt有且僅有一個實根，
則函數g（t）的圖象（紅線部分）在區間[-1，1]上
和直線y=kt（藍線）只有一個交點，
如圖所示：
再根據OA的斜率為

-4-0

1-0

=-4，
OC的斜率為

8-0

-1-0

=-8，
可得k≥-4，或 k≤-8．

點評：本題考查正弦函數的值域，主要考查二次函數的性質，方程根的存在性及個數判斷，屬于中檔題和易錯題．