Question

正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=

1

2

CD=2，點M是EC中點．
（Ⅰ）求證：BM∥平面ADEF；
（Ⅱ）求三棱錐M-BDE的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取ED的中點N，連接MN．利用三角形的中位線定理可得MN∥DC，MN=

1

2

DC．再利用已知可得MN

∥

.

BA，即可證明四邊形ABMN是平行四邊形．再利用線面平行的判定定理即可證明．
（Ⅱ）利用三棱錐的體積計算公式可得V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

S△DEM•AD．

解答： （Ⅰ）證明：取ED的中點N，連接MN．
又∵點M是EC中點．
∴MN∥DC，MN=

1

2

DC．
而AB∥DC，AB=

1

2

DC．
∴MN

∥

.

BA，
∴四邊形ABMN是平行四邊形．
∴BM∥AN．
而BM?平面ADEF，AN?平面ADEF，
∴BM∥平面ADEF．

（Ⅱ）解：∵M為EC的中點，
∴

S

△DEM

=

1

2

S

△CDE

=2，
∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE與CD相交于D
∴AD⊥平面CDE．
∵AB∥CD，
∴三棱錐B-DME的高=AD=2，
∴V_M-BDE=V_B-DEM=

1

3

S△DEM•AD=

4

3

．

點評：本題考查了三角形的中位線定理、梯形的定義、平行四邊形的判定與性質定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．