Question

【題目】已知集合S={1,2,3,4,5,6}，一一映射f:S→S滿足條件：對于任意的x∈S，有f(f(f(x)))=x。則滿足條件的映射f的個數是( )。

A. 81 B. 80 C. 40 D. 27

Answer 1

【答案】A

【解析】

易知不存在使得且f(f(x))=x.否則, f(f(f(x)))= f(x)≠x，與已知矛盾.因此，對任意的，要么f(x)=x，要么，且互不相等.故只有如下三種情況：

(1) 對任意，f(x)=x這樣的f只有1個；

(2) f中存在一個循環：a→b→c→a，而其他3個元素滿足f(x)=x.這樣的f有個;

(3) f中存在兩個循環: a→b→c→a和x→y→z→x.這樣的f有個.

綜上所述，滿足條件的f共有81個. 選A.