Question

已知△ABC的頂點A（0，2），AC邊上的高線BD所在直線的方程為x-2y+2=0，∠ABC的角平分線所在的直線方程為y=0．求：
（I）直線AC的方程；
（Ⅱ）點C到直線AB的距離．

Answer 1

分析：（1）根據垂直的兩條直線斜率的關系，算出AC的斜率k_AC=

-1

kBD

=-2，結合直線方程的點斜率式列式，即可得到直線AC方程；
（2）由對稱的知識得A關于y=0的對稱點E（0，-2）在直線BC上，算出BC方程為y=-x-2．將直線AC、BC方程聯解得到C的坐標，結合直線AB方程為x-y+2=0利用點到直線的距離公式加以計算，即可得到點C到直線AB的距離．

解答：解：（1）∵AC邊上的高BD所在直線的方程為x-2y+2=0，
∴直線AC是經過點A（0，2）與BD垂直的直線，
得k_AC=

-1

kBD

=-2，直線AC方程為y=-2x+2…①；
（2）∵∠ABC的角平分線所在的直線方程為y=0．
∴求得AC與的交點，得B（-2，0）
點A關于y=0的對稱點E（0，-2）在直線BC上
∴BC斜率k=

0-(-2)

-2-0

=-1，可得BC方程為y=-x-2…②
聯解①②，得C（4，-6）
∵直線AB方程為x-y+2=0
∴點C到直線AB的距離是d=

|4+6+2|

2

=6

2

．

點評：本題給出三角形ABC的高與角平分線，求邊所在直線的方程并求點C到BC的距離．著重考查了直線的方程、直線的位置關系和點到直線的距離公式等知識，屬于中檔題．