Question

對于三次函數。
定義：（1）設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”；
定義：（2）設為常數，若定義在上的函數對于定義域內的一切實數，都有成立，則函數的圖象關于點對稱。
己知，請回答下列問題：
（1）求函數的“拐點”的坐標
（2）檢驗函數的圖象是否關于“拐點”對稱，對于任意的三次函數寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）
（3）寫出一個三次函數，使得它的“拐點”是（不要過程）

Answer 1

（1）“拐點”坐標是;
（2）一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心。
或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數.
（3）或.

解析試題分析：（1）依題意，計算 ，.
由 ，得，再據，可得“拐點”坐標是.
（2）由(1)知“拐點”坐標是.
根據定義（2），考查
=
==，
作出結論：
一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心.
或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數.
（3）根據（2）寫出或寫出一個具體的函數,如或.
試題解析：（1）依題意，得： ，
。        2分
由 ，即。∴，又 ，
∴的“拐點”坐標是.。        4分
（2）由(1)知“拐點”坐標是.
而=
==，
由定義(2)知：關于點對稱。        8分
一般地，三次函數的“拐點”是，它就是的對稱中心.                          10分
（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數  ）都可以給分
（3）或寫出一個具體的函數,如或.    12分
考點：新定義問題，導數的計算，函數圖象的對稱性.