Question

已知數(shù)列．
（I）求證數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由，可得，所以可證數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）因?yàn)閎_n=na_n=n•2^n-1+1，所以S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，錯(cuò)位相減得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（III）由知，當(dāng)n≥2時(shí)，知，從而有進(jìn)而可用放縮法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，故問(wèn)題得證．
解答：證明：（I）∵，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，∴
（II）∵b_n=na_n=n•2^n-1+1，∴S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記∴T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，兩式相減化簡(jiǎn)得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n-1）×2ⁿ+n+1；
（III）由知
當(dāng)n≥2時(shí)，知，∴即
當(dāng)n=1，2時(shí)，結(jié)論成立．
當(dāng)n≥3時(shí)，=，∴
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比、等差數(shù)列、不等式和數(shù)列的有關(guān)知識(shí)，化歸、遞推等數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)考查運(yùn)算能力，推理論證以及綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．