Question

已知數列．
（I）求證數列成等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（II）若b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（III）求證：．

Answer 1

證明：（I）∵，∴數列是以1為首項，2為公比的等比數列，∴，∴
（II）∵b_n=na_n=n•2^n-1+1，∴S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記∴T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，兩式相減化簡得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，∴數列{b_n}的前n項和S_n=（n-1）×2ⁿ+n+1；
（III）由知
當n≥2時，知，∴即
當n=1，2時，結論成立．
當n≥3時，=，∴
分析：（I）由，可得，所以可證數列是以1為首項，2為公比的等比數列，進而可求數列{a_n}的通項公式；
（II）因為b_n=na_n=n•2^n-1+1，所以S_n=b₁+b₂++b_n=（1+2×2¹++n×2^n-1）+n
記T_n=1+2×2¹++n×2^n-1，于是2T_n=2+2×2²++n×2ⁿ，錯位相減得T_n=（n-1）×2ⁿ+1，從而可求數列{b_n}的前n項和S_n；
（III）由知，當n≥2時，知，從而有進而可用放縮法轉化為等比數列求和，故問題得證．
點評：本題考查等比、等差數列、不等式和數列的有關知識，化歸、遞推等數學思想方法，同時考查運算能力，推理論證以及綜合運用有關知識分析解決問題的能力．