【題目】如圖所示的三棱柱
中，
平面
，
，
，
的中點為
，若線段
上存在點
使得
平面
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）設
的長為
，分別以
，
，
的方向為
，
，
軸正方向建立空間直角坐標系，求出各點的坐標，
，從而求得點
的坐標為
，求得
，利用
平面
列方程
即可求得，問題得解。
（Ⅱ）求出平面
的法向量為
，結合（Ⅰ）中
是平面的一個法向量，利用法向量的夾角坐標表示即可求解。
解：（Ⅰ）方法一：設的長為，依題意可知
，
，
兩兩垂直，分別以，，的方向為，，軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示.
則
，
，
，
，
，
，
因此
，
，
.設
，易求得點的坐標為，所以.
因為
平面，所以.
解之得
，所以的長為.
方法二：如圖，在平面
內過點
作
的垂線分別交和
于
，
，連接
，在平面
內過點作的垂線交
于
，連接
.
依題意易得，
五點共面.
因為平面，所以
.①
在
中，
，
，因此為線段靠近
的三等分點.
由對稱性知，為線段靠近
的三等分點，因此
，
.
代入①，得
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）方法一可知，是平面的一個法向量且，
.
設平面的法向量為
，則
可以為
.
.
因為二面角
為銳角，故所求二面角的余弦值為.
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【題目】為預防
病毒爆發，某生物技術公司研制出一種新流感疫苗，為測試該疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于
%，則認為測試沒有通過），公司選定
個流感樣本分成三組，測試結果如下表：
|
|
| |
疫苗有效 |
|
|
|
疫苗無效 |
|
|
|
已知在全體樣本中隨機抽取
個，抽到
組疫苗有效的概率是
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）現用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取
個測試結果，問應在
組抽取多少個？
（Ⅲ）已知
，
，求不能通過測試的概率．
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【題目】設點
是拋物線
上異于原點
的一點，過點
作斜率為
、
的兩條直線分別交
于
、
兩點（、
、
三點互不相同）．
（1）已知點
，求
的最小值；
（2）若
，直線
的斜率是
，求
的值；
（3）若
，當
時，點的縱坐標的取值范圍．
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【題目】如圖，已知三棱錐O﹣ABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．
（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求直線BE和平面ABC的所成角的正弦值．
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【題目】哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如
，在不超過13的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和為偶數的概率是________（用分數表示）
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【題目】從1至9這9個自然數中任取兩個：
恰有一個偶數和恰有一個奇數；
至少有一個是奇數和兩個數都是奇數；
至多有一個奇數和兩個數都是奇數；
至少有一個奇數和至少有一個偶數．
在上述事件中，是對立事件的是
A. B. 
C. D. 
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【題目】如下圖所示，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結論．
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【題目】在極坐標系中，圓C的方程為ρ＝4cosθ，以極點為坐標原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l經過點M（5，6），且斜率為
．
（1）求圓 C的平面直角坐標方程和直線l的參數方程；
（2）若直線l與圓C交于A，B兩點，求|MA|+|MB|的值．
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