Question

【題目】已知關(guān)于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由選項(xiàng)知a＞0，
設(shè)g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），
若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，
即g（x）=0有唯一解，
則g′（x）=2x﹣ ﹣2a= ，
令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x1= （另一根舍去），
當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x1 ， +∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（x1 ， +∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴當(dāng)x=x2時(shí)，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），
∵g（x）=0有唯一解，
∴g（x1）=0，
∴ ，
∴ ，
∴2alnx1+ax1﹣a=0
∵a＞0，
∴2lnx1+x1﹣1=0，
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x﹣1，
∵x＞0時(shí)，h（x）是增函數(shù)，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解為x1=1，
即x1= =1，
∴ ，
∴當(dāng)a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解時(shí)a的值為 ．
故選：B．
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，將方程有唯一解，轉(zhuǎn)化為g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．