Question

北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質健康測試”，測試總成績滿分為分，規定測試成績在之間為體質優秀；在之間為體質良好；在之間為體質合格；在之間為體質不合格．
現從某校高三年級的名學生中隨機抽取名學生體質健康測試成績，其莖葉圖如下：

（Ⅰ）試估計該校高三年級體質為優秀的學生人數；
（Ⅱ）根據以上名學生體質健康測試成績，現采用分層抽樣的方法，從體質為優秀和良好的學生中抽取名學生，再從這名學生中選出人．
（ⅰ）求在選出的名學生中至少有名體質為優秀的概率；
（ⅱ）求選出的名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數的概率．

Answer 1

（Ⅰ）100；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）由莖葉圖可知抽取的30名學生中體質優秀的有10人，所以優秀率為，用總數乘以優秀率即可得優秀的總人數。（Ⅱ）由莖葉圖可知抽取的30名學生中體質優秀的有10人，體質為良好的15人。所以樣本中體質為優秀和良好的學生的比為。分層抽樣的特點是在各層按比例抽取，所以抽取的5人中有3人體質為良好有2人體質為優秀。（ⅰ）和（ⅱ）中的概率均屬古典概型，用例舉法分別求基本事件總數和所求事件包含的基本事件數即可。
試題解析：解：（Ⅰ）根據抽樣，估計該校高三學生中體質為優秀的學生人數有人．   3分
（Ⅱ）依題意，體質為良好和優秀的學生人數之比為 ．
所以，從體質為良好的學生中抽取的人數為，從體質為優秀的學生中抽取的人數為．                6分
（ⅰ）設在抽取的名學生中體質為良好的學生為，，，體質為優秀的學生為，．
則從名學生中任選人的基本事件有，，，，，，，，，個，其中“至少有名學生體質為優秀”的事件有，，，，，，， ，個．
所以在選出的名學生中至少有名學生體質為優秀的概率為．      10分
（ⅱ）“選出的名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數”的事件有，，個．
所以選出的名學生中體質為優秀的人數不少于體質為良好的人數的概率為．13分