Question

已知 在梯形ABCD中，

AB

=(6，1)，

BC

=(x，y)，

CD

=(-2，-3)
（Ⅰ）若

BC

∥

DA

，試求x與y滿足的關系式；
（Ⅱ）滿足（1）的同時又有

AC

⊥

BD

，求向量

AC

與

BD

的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意和向量的線性運算先求出

DA

的坐標，再由兩個向量的平行對應坐標條件，求出關系式；
（2）由題意和向量的線性運算先求出

AC

和

BD

的坐標，再由兩個向量的垂直對應坐標條件，求出關系式，再結合（1）的關系式進行求解，進而求出

AC

和

BD

的坐標．

解答：解：（1）由題意知，

BC

=(x，y)，

DA

=-

AD

=-(

AB

+

BC

+

CD

)=-(x+4，y-2)=(-x-4，-y+2)
∵

BC

∥

DA

，則有x•（-y+2）-y•（-x-4）=0
化簡得：x+2y=0
（2）∵

AC

=

AB

+

BC

=(x+6，y+1)，

BD

=

BC

+

CD

=(x-2，y-3)
又∵

AC

⊥

BD

，則 （x+6）•（x-2）+（y+1）•（y-3）=0
化簡有：x²+y²+4x-2y-15=0
聯立

x+2y=0  x2+y2+4x-2y-15=0

解得

x=-6 y=3

或

x=2 y=-1

當

x=-6 y=3

時，有

AC

=(0，4)   

BD

=(-8，0)；
當

x=2 y=-1

時，有

AC

=(8，0)   

BD

=(0，-4)．

點評：本題是向量的綜合題，涉及了向量平行以及垂直的坐標表示的等價條件應用，向量的線性運算的應用，考查了計算能力和知識的運用能力．