Question

【題目】已知點是圓上任意一點（是圓心），點與點關于原點對稱．線段的中垂線分別與交于兩點．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）直線經過，與拋物線交于兩點，與交于兩點．當以為直徑的圓經過時，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據中垂線的性質，,這樣，轉化為橢圓的定義，根據定義寫出橢圓方程；（2）設直線方程，斜率存在時和橢圓方程聯立，利用韋達定理寫出根與系數的關系，然后根據以為直徑的圓經過時，有，代入坐標關系，最后根據直線方程，根據根與系數的關系求，最后代入拋物線的焦點弦長公式．

試題解析：解：（I）由題意得，F1（﹣1，0），F2（1，0），圓F1的半徑為4，且|MF2|=|MP|，

從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4＞|F1F2|，

∴點M的軌跡是以F1，F2為焦點的橢圓

其中長軸2a=4，得到a=2，焦距2c=2，則短半軸b=，

∴橢圓方程為：

（Ⅱ）當直線l 與x軸垂直時，B1（1，），B2（1，﹣），又F1（﹣1，0），

此時，所以以B1B2為直徑的圓不經過F1．不滿足條件．

當直線l 不與x軸垂直時，設L：y=k（x﹣1）

由即（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

因為焦點在橢圓內部，所以恒有兩個交點．

設B1（x1，y1），B2（x2，y2），則：x1+x2=，x1x2=，

因為以B1B2為直徑的圓經過F1，所以，又F1（﹣1，0）

所以（﹣1﹣x1）（﹣1﹣x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2=0

所以解得k2=，

由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0

因為直線l 與拋物線有兩個交點，所以k≠0，

設A1（x3，y3），A2（x4，y4），則：，x3x4=1

所以．