Question

【題目】已知是數列的前項和，且滿足，等差數列的前項和為,且， .

（Ⅰ）求數列與的通項公式；

（Ⅱ）若數列的通項公式為，問是否存在互不相等的正整數， ， 使得， ， 成等差數列，且 ， ， 成等比數列？若存在，求出， ， ；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（I）利用可求得數為等比數列，公比為，由此求得數列的通項公式.利用基本元的思想將轉化為的方程組，解出，由此求得數列的通項公式.（II）由（I）求得數列的表達式.先假設存在，利用和列方程組，求得，化簡后得到，這與矛盾，故不存在這樣的數.

試題解析：

（Ⅰ）由 令可知，

當時，有，兩式相減得，

∴ ，

∴數列是以3為首項，3為公比的等比數列，∴.

設等差數列的公差為，依題意得， ，解得，

∴.

（Ⅱ）由（1）可知，假設存在互不相等的正整數， ， ，使得， ， 成等差數列，且 ， ， 成等比數列.則，即

由， ， 成等差數列，得所以.所以由得.即，又所以, 即，即即. 這與矛盾,所以，不存在滿足條件的正整數， ， ，使得， ， 成等差數列，且 ， ， 成等比數列.