Question

【題目】已知函數（a∈R）．

（1）討論y＝f（x）的單調性；

（2）若函數f（x）有兩個不同零點x1，x2，求實數a的范圍并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析

【解析】

（1）先求得函數的單調區間，然后求函數的導數，對分成兩種情況，分類討論函數的單調區間.（2）令，分離常數，構造函數，利用導數求得的單調區間和最大值，結合圖像求得的取值范圍.構造函數（），利用導數證得在成立，從而證得在上成立.根據的單調性證得.

函數的定義域為

當時，，函數在上為增函數；

當時，，，有，

在有，

即，

綜上：當時，函數在上為增函數；

當時，.

（2）有兩個不同的零點，即有兩個不同的根，

即

即 有兩個不同的交點；

，，

，當時，

故.

由上設

令（）

當時，，故在上為增函數，

，從而有，

即，而

則，又因為

所以，

又，，

故，即證.