Question

【題目】（1）問題發現

如下圖，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE。

填空：①∠AEB的度數為____________；

②線段AD、BE之間的數量關系是_________。

（2）拓展探究

如下圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900, 點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE。請判斷∠AEB的度數及線段CM、AE、BE之間的數量關系，并說明理由。

（3）解決問題

如下圖，在正方形ABCD中，CD=。若點P滿足PD=1,且∠BPD=900，請直接寫出點A到BP的距離。

Answer 1

【答案】（1）① 60； ② AD=BE（2）見解析；（3）或.

【解析】

(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.

理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.

或.

（1）因為，所以，

在和中，

，CD=CE，

所以和全等，

所以AD=BE, ，所以.

（2）(2)∠AEB＝900；AE=2CM+BE.

理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,

∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB,

即∠ACD= ∠BCE,∴△ACD≌△BCE,∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.

∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM= DM= ME,∴DE=2CM,∴AE=DE+AD=2CM+BE.

或.

（3）或.