Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD∥BC，AC⊥DB，∠CAD=60°，AD=2，PD=1．

（1）證明：AC⊥BP；
（2）求二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵PD⊥底面ABCD，AC平面ABCD；

∴AC⊥PD；

又AC⊥BD，BD∩PD=D；

∴AC⊥平面PBD，BP平面PBD；

∴AC⊥BP；

（2）

解：設AC∩BD=O，以O為坐標原點，OD，OA為x，y軸建立如圖空間直角坐標系O﹣xyz，則：

O（0，0，0），D（ ，0，0），A（0，1，0），P（ ，0，1）；

∴ ， ， ；

設平面ACP的法向量 ，平面ADP的法向量 ；

由 得， ，取x1=1，則 ；

同理，由 得， ；

∴ ；

∴二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）根據線面垂直的性質即可得到AC⊥PD，而由條件AC⊥BD，這樣根據線面垂直的判定定理便可得出AC⊥平面PBD，進而便可證出AC⊥BP；（2）可設AC與BD交于點O，這樣由條件便可分別以OD，OA為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，從而可以求出點O，D，A，P四點的坐標，進而得出向量 的坐標，可設平面ACP的法向量 ，平面ADP的法向量 ，這樣根據 便可得出法向量 的坐標，同理便可得出法向量 的坐標，從而便可求出 的值，即得出二面角C﹣AP﹣D的平面角的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的性質，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．