Question

【題目】已知數(shù)列是各項都不為0的無窮數(shù)列，對任意的n≥3，n， 恒成立．

（1）如果，，成等差數(shù)列，求實數(shù)的值；

（2）已知＝1．①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②已知數(shù)列中，．?dāng)?shù)列是公比為q的等比數(shù)列，滿足，，(i)．求證：q是整數(shù)，且數(shù)列中的任意一項都是數(shù)列中的項．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①見解析②見解析

【解析】

（1）令，可得，兩邊同除以，可得：，結(jié)合，，成等差數(shù)列可得：，問題得解。

（2）①在 中，用代可得： ，兩式作差可得：，整理得：，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，假設(shè)時， 成等差數(shù)列，且公差為，則當(dāng)時，成立，問題得證。

②數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，即可求得：，即可求得，所以是整數(shù)，由，，成等比數(shù)列即可求得：，令，整理得：，又，利用二項式定理展開得：，即可求得：，問題得解。

（1）由題可得：當(dāng)時，

兩邊同除以，可得：

因為，，成等差數(shù)列，所以

所以，解得：

（2）①由題可得：當(dāng)時， …（Ⅰ）

用代上式中的，可得：

…（Ⅱ）

（Ⅱ）（Ⅰ）得：

上式兩邊同除以可得：

整理得：

整理得：

（ⅰ）由（1）得，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，結(jié)論正確.

（ⅱ）假設(shè)時，結(jié)論正確。即：成等差數(shù)列，且公差為

下證時， 成等差數(shù)列.

即證

又

.

所以成立.

由（ⅰ）（ⅱ）可得：對任意的，數(shù)列是等差數(shù)列.

②由①得：數(shù)列是等差數(shù)列，公差為

所以，（）

又，，成等比數(shù)列，

所以，即：

整理得：

所以，所以是整數(shù)

數(shù)列中的任意一項

令，則

整理得：，整理得：

又

所以

解得：

即：存在，使得：成立

所以數(shù)列中的任意一項都是數(shù)列中的項．