Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為，離心率，直線交橢圓于、兩點．

（1）若直線的方程為，求弦的長；

（2）如果的重心恰好為橢圓的右焦點，求直線方程的一般式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由已知中橢圓的一個頂點為，離心率，根據，，可求出橢圓的標準方程，進而求直線的方程及弦長公式，得到弦的長；

（2）設線段的中點為，，結合（1）中結論，及的重心恰好為橢圓的右焦點，由重心坐標公式，可得點坐標，由中點公式及，也在橢圓上，求出的斜率，可得直線方程．

解：（1）由已知橢圓的一個頂點為，

，

又離心率，

即，

，解得，

橢圓方程為；

由與聯立，

消去得，

，，

所求弦長；

（2）橢圓右焦點的坐標為，

設線段的中點為，，

由三角形重心的性質知，又，

，，，

故得，，

求得的坐標為；

設，，，，則，，

且，

以上兩式相減得，

，

故直線的方程為，即．