Question

數列的前項和為，且是和的等差中項，等差數列滿足，.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，證明：.

Answer 1

（1），；（2）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題主要考查等差數列與等比數列的概念、通項公式、前項和公式、數列求和等基礎知識，考查運算能力、推理論證能力.第一問，先利用是和的等差中項，得到，由求，注意的情況，不要漏掉，會得到為等比數列，利用等比數列的通項公式，求和公式直接寫出和，再利用已知求出，寫出等差數列的通項公式；第二問，先化簡表達式，利用裂項相消法求和求，利用放縮法比較與的大小，作差法判斷數列的單調性，因為數列為遞增數列，所以最小值為，即，所以.
試題解析：（1）∵是和的等差中項，∴
當時，，∴
當時，，
∴ ，即                                               3分
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，
∴，                                                 5分
設的公差為，，，∴
∴                                              6分
（2）                      7分
∴       9分
∵,∴                                   10分

∴數列是一個遞增數列     ∴.
綜上所述，  .         12分
考點：1.等差中項；2.由求；3.等比、等差數列的通項公式與求和公式；4.裂項相消法求和.