Question

已知雙曲線C₁：

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于A，B兩點．
（1）求a的取值范圍；
（2）求雙曲線離心率e的取值范圍；
（3）求|AB|．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）聯立直線方程和雙曲線方程，利用判別式大于0求a的取值范圍；
（2）根據（1）中求得的a的范圍求雙曲線離心率e的取值范圍；
（3）利用根與系數關系求出A，B橫坐標的和與積，然后代入弦長公式的答案．

解答： 解：（1）聯立

x2 a2 -y2=1 x+y=1

，得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，
∵雙曲線C₁：

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線l：x+y=1相交于A，B兩點，
∴

1-a2≠0 △=(2a2)2+8a2(1-a2)＞0

，解得：0＜a＜

2

且a≠1．
∴a的取值范圍是0＜a＜

2

且a≠1；
（2）∵c²=a²+1，
∴

c2

a2

=

a2+1

a2

=1+

1

a2

，
∵0＜a＜

2

且a≠1，
∴

1

a2

＞

1

2

且

1

a2

≠1，
∴

c2

a2

＞

3

2

且

c2

a2

≠2，
則雙曲線離心率e的取值范圍是a＞

6

2

且a≠

2

；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

2a2

a2-1

，x1x2=

2a2

a2-1

，
∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 2a2 a2-1 )2-4 2a2 a2-1

=

2 2 a 2-a2

|a2-1|

．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了直線與雙曲線的關系，訓練了弦長公式的應用，是中檔題．