Question

【題目】設函數 (為自然對數的底數），.

（1）證明：當時， 沒有零點；

（2）若當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）由，令， ，把沒有零點，可以看作函數與的圖象無交點，求得直線與曲線無交點，即可得到結論.

（2）由題意，分離參數得，設出新函數，得出函數的單調性，求解函數的最小值，即可求解的取值范圍.

試題解析:

（1）解法一：∵，∴.

令,解得；令，解得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增.

∴.

當時， ，

∴的圖象恒在軸上方，∴沒有零點.

解法二：由得，令， ，

則沒有零點，可以看作函數與的圖象無交點，

設直線切于點，則，解得，

∴，代入得，又，

∴直線與曲線無交點，即沒有零點.

（2）當時， ，即，

∴，即.

令，則.

當時， 恒成立，

令，解得；令，解得，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴.∴的取值范圍是.