Question

用數學歸納法證明：l³+2³+3³+…+n³=

n2+(n+1)2

4

（n∈N^﹡）．

Answer 1

分析：應用數學歸納法證明問題，①驗證n=1時命題成立；②假設n=k時，命題成立，從假設出發，經過推理論證，證明n=k+1時也成立，從而證明命題正確．

解答：證明：①當n=1時，左邊=1，右邊=1，∴n=1時，等式成立．
②假設n=k時，等式成立，即13+23+33++k3=

1

4

k2(k+1)2
1³+2³+3³++k³+（k+1）³
=

1

4

k2(k+1)2+(k+3)3=

1

4

(k+1)2[k2+4(k+1)]=

1

4

(k+1)2[(k+1)+1]2
∴n=k+1時，等式成立．
綜合①、②原等式獲證．

點評：考查數學歸納法證明有關正整數命題的方法步驟，特別是②是關鍵，是核心，也是數學歸納法證明命題的難點所在，屬基礎題．