Question

甲、乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了統計兩個學校在本地區一模考試的數學科目的成績，采用分層抽樣抽取了105名學生的成績，并作了如下頻率分布表．（規定成績在[130，150]內為優秀）
甲校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分組	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
頻數	1	2	9	8	10	10	y	3

（I）計算x，y的值，并分別估計兩個學校在此次一模考試中數學成績的優秀率（精確到0.0001）；
（II）由以上統計數據填寫下面的2×2列聯表，并判斷是否有90%的把握認為兩個學校的數學成績有差異，并說明理由．

	甲校	乙校	總計
優秀
非優秀
總計

附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥K0）	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析：（1）根據要抽取的人數和兩個學校的人數利用分層抽樣得到兩個學校要抽取的人數，分別做出x，y的值，利用平均數的公式做出兩個學校的平均分．
（2）根據數學成績不低于130分為優秀，低于130分為非優秀，看出優秀的人數和不優秀的人數，填出列聯表，根據列聯表的數據，寫出觀測值的計算公式，得到觀測值，同臨界值進行比較，得到在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為“兩個學校的數學成績有差異”．

解答：解：（1）依題甲校抽取55人，乙校抽取50，
故x=6，y=7
估計甲校優秀率為

4

55

≈0.0727，
乙校優秀率為

10

50

=0.2000．
（2）根據所給的條件列出列聯表

	甲校	乙校	總計
優秀	4	10	14
非優秀	51	40	91
總計	55	50	105

k²=

105×(4×40-10×51)2

55×50×14×91

≈3.671，
又因為3.671＞2.706，
故有90%的把握認為兩個學校的數學成績有差異．

點評：本題主要考查獨立性檢驗的應用，解題的關鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應的概率的意義，屬于基礎題．