Question

設(shè)P、Q是函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（φ為常數(shù)）圖象上的兩點且橫坐標(biāo)分別為-

π

12

、

π

4

，若f（x）圖象上存在一個最高點M，使得（

MP

+

MQ

）•

PQ

=0，則下列關(guān)系一定成立的是 （　　）

• A、f（

  π

  12

  ）=2
• B、f（

  π

  12

  ）=-2
• C、f（

  π

  5

  ）+f（

  7π

  15

  ）=0
• D、f（-

  π

  5

  ）+f（

  π

  30

  ）=0

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)（

MP

+

MQ

）•

PQ

=0得P，Q的中點在對稱軸上，利用中點坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵若f（x）圖象上存在一個最高點M，使得（

MP

+

MQ

）•

PQ

=0，
∴由向量平行四邊形法則可知以MA，MQ為鄰邊的平行四邊形的對角線互相垂直，
即對應(yīng)的四邊形是菱形，
∴根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可知|

MP

|=|

MQ

|，設(shè)M在x軸上的射影D（x，0），
則P，Q關(guān)于對稱性DP對稱，
即對稱性DP的方程為x=

- π 12 + π 4

2

=

π

12

，
即當(dāng)x=

π

12

，時，函數(shù)f（x）取得最大值即f（

π

12

）=2，
故選：A

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)向量垂直關(guān)系得到P，Q的對稱性是解決本題的關(guān)鍵．