Question

計算下列定積分：
（1）

∫

1 -1

x

5-4x

dx  
（2）

∫

1 0

ex

e2x+1

dx  
（3）

∫

e 1

2+lnx

x

dx．

Answer 1

考點：定積分

專題：導數的概念及應用

分析：將被積函數變形，利用換元的思想轉化為我們熟悉的基本初等函數形式解答．

解答： 解；（1）設

5-4x

=t，則x=

5-t2

4

，并且t∈[1，3]，
所以

∫

1 -1

x

5-4x

dx=

∫

3 1

(

5

4t

-

t

4

)d(

5-t2

4

)=

1

8

∫

3 1

(t2-5)dt=

1

8

（

1

3

t3-5t）|

3 1

=-

1

6

；
（2）設e^x=t，則x=lnt，

∫

1 0

ex

e2x+1

dx=

∫

e 1

1

1+t2

dt=arctant|

e 1

=arctane-

π

4

；
（3）

∫

e 1

2+lnx

x

dx=

∫

e 1

(2+lnx)d(2+lnx)=

1

2

×（2+lnx）²|

e 1

=

5

2

．

點評：本題考查了定積分的計算，關鍵是將所求轉化為熟知的基本初等函數的導數，進一步求定積分．