Question

（本小題9分）

如圖，四棱錐S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，，點E是SD上的點，且

（Ⅰ）求證：對任意的，都有

（Ⅱ）設二面角C—AE—D的大小為，直線BE與平面ABCD所成的角為，若，求的值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）

【解析】(1)可以通過證明即可。

(II)先找出二面角C-AE-D的平面角∠CDF，即∠CDF=.直線BE與平面ABCD所成的角,即=.然后再根據建立關于的方程，解出的值。

解:Ⅰ）證法1：如圖1，連接BE、BD，

由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD。

  SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，AC⊥BE ------3分

（Ⅱ）如圖1，

由SD⊥平面ABCD知，∠DBE= ,

SD⊥平面ABCD，CD平面ABCD, SD⊥CD。

又底面ABCD是正方形， CD⊥AD，而SD AD=D，CD⊥平面SAD.

連接AE、CE，過點D在平面SAD內作DE⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，

故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角，即∠CDF=。  ------------------5分

在Rt△BDE中，BD=2a，DE= 

在Rt△ADE中,

從而在中，       --7分

由，得.

由，解得，即為所求.   ---------------------------------9分

（1）證法2：以D為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如

圖2所示的空間直角坐標系，

則：D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），---------2分

，      即。       ---------3分

解法2：

由（I）得.

設平面ACE的法向量為n=(x，y，z)，則由得

。--------------------5分

易知平面ABCD與平面ADE的一個法向量分別為.    -------------7分

0<，，

            =1

由于，解得，即為所求。--------------------9分