Question

(本小題9分)

   如圖所示，在直角梯形ABCP中，AB=BC=3，AP=7，CD⊥AP，現將沿折線CD折成60°的二面角P—CD—A，設E，F，G分別是PD，PC，BC的中點。

（I）求證：PA//平面EFG；

（II）若M為線段CD上的一個動點，問當M在什么位置時，MF與平面EFG所成角最大。

 

Answer 1

【答案】

（I）證明見解析。

（II）M為線段CD中點時 ，最大。

【解析】方法一：

（I）證明：平面PAD，

                                     2分

過P作AD的垂線，垂足為O，則PO平面ABCD。

過O作BC的垂線，交BC于H，以OH，OD，OP為x

軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，

是二面角P—PC—A的平面角，，

又

得

故                                                                     4分

設平面EFG的一個法向量為則

                       6分

而

故PA//平面EFG。                         7分

（II）解：設M（x，2，0），則，                                        9分

設MF與平面EFG所成角為，

則                                  12分

故當取到最大值，則取到最大值，此時點M為線段CD的中點。14分

方法二：

（I）證明：取AD的中點H，連結EH，HG。                                                        2分

H，G為AD，BC的中點，∴HG//CD，又EF//CD。

∴EF//HG，

∴E，F，G，H四點共面

又∵PA//EH，EH平面EFGH，PA平面EFGH，

∴PA//平面EFG。                            7分

（II）解：過M作MO⊥平面EFG，垂足O，連結OF，

則即為MF與平面EFG所成角，因為CD//EF，

故CD//平面EFG，故CD上的點M到平面EFG的距離

MO為定長，故要使最大，只要MF最短，故當

時，即M為線段CD中點時 ，最大。