Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點為M，，且AC=BC.

（1）求證：平面EBC；

（2）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）祥見解析；(2)．

【解析】試題分析：由已知四邊形是正方形，知其兩條對角線互相垂直平分，且，又因為平面平面，平面，故可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；又因為正方形ACDE的邊長為2，且三角形ABC是以角C為直角的直角三角形，從而就可以寫出點A，B，C，E及點M的空間直角坐標(biāo)；則（1）求出向量的坐標(biāo)，從而可證，這樣就可證明直線AM與平面EBC內(nèi)的兩條相交直線垂直，故得直線AM與平面EBC垂直；(2)由（1）知是平面EBC的一個法向量，其坐標(biāo)已求，再設(shè)平面EAB的一個法向量為，則由且，可求得平面EAB的一個法向量；從而可求出所求二面角的兩個面的法向量夾角的余弦值，由圖可知所求二面角為銳二面角，故二面角的余弦值等于兩個面的法向量夾角余弦值的絕對值，從而就可求得所求二面角的大小．另本題也可用幾何方法求解證明．

試題解析：∵四邊形是正方形 ，，

∵平面平面，平面，

∴可以以點為原點，以過點平行于的直線為軸，

分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，

是正方形的對角線的交點，．

(1)，，，

，

平面．

(2) 設(shè)平面的法向量為，則且，

且．

即

取，則， 則．

又∵為平面的一個法向量，且，

，

設(shè)二面角的平面角為，則，

∴二面角等于．

（1） ，（2）均可用幾何法